Tal vez en nuestra vida de estudiantes de primaria y secundaria, conocíamos solamente los números que iban del 0 al infinito, pasando por los decimales y las fracciones, posteriormente se añadieron los negativos, las raices cuadradas, etc. ¿Pero se han preguntado cuántas clases de números hay en realidad?
El estudio de las matemáticas es un campo enorme y que sigue creciendo aún hoy en día. En realidad hay varios tipos de números, aunque hoy sólo les mostraré los más usados. Para ello, me guiaré con el esquema siguiente:
Como se podrán dar cuenta, los números de los que se derivan todos los demás es el grupo de los complejos, aunque para efectos prácticos, comenzaremos viendo los números de la derecha y al final veremos los complejos.
Naturales
Este tipo de números se representa con la notación "N" y son aquellos que nos enseñan en el jardín de niños, son los números enteros que van del 1 al infinito, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, 6... Este grupo a su vez, contiene a los subconjuntos del 1, los primos y los compuestos.
Primos
Éstos son aquellos números que sólo pueden ser divididos entre 1 y ellos mismos, dando como resultado un número entero, por ejemplo, el 17 no se puede dividir entre 2, 3, 5, 7, etc. Sólo puede ser dividido entre 1 y 17 ya que por cualquier otro número el resultado no sería un número entero.
Los números primos del 1 al 100 son los siguientes:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Compuestos
Estos números, al contrario de los primos, si tienen más divisores que el 1 y ellos mismos, por ejemplo el 8 además de tener al 1 y al 8 mismo, tiene al 2 y al 4. Los números compuestos menores hasta el 100 son los siguientes:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
Enteros
Los números enteros tienen la notación "Z", son aquellos que no contienen cifras decimales, y que aún siendo fracciones, el resultado de dividir el numerador entre el denominador no contendrá decimales. Éstos abarcan del menos infinito al más infitnio.
Este grupo a su vez, contiene los subgrupos de los números naturales, el 0 y los enteros negativos. Se puede decir básicamente que los números enteros positivos son todos aquellos números enteros que se encuentran a la derecha del 0 en la recta numérica y los enteros negativos son los que se encuentran a la izquierda del 0 en la recta numérica.
Por último, falta decir que el 0 no pertecene ni a los positivos ni a los negativos.
Racionales
Los números racionales tienen la notación "Q", al igual que los enteros, abarcan desde el menos infinito al más infinito, y son aquellos que se representan en forma de fracción, teniendo dos números enteros, esto se representa en la siguiente imagen:
El resultado de la
división de ambos números es lo que da característica a estos números, puesto a
que el resultado tiene que ser un número entero o decimal, pero en caso de ser
este último, los decimales tienen que ser finitos o ser periódicos. Por consiguiente,
todas las fracciones son números racionales.
Números racionales exactos
Los
números racionales exactos, son aquellos que su cociente da un número entero o
por otro lado, puede contener decimales, pero éstos son finitos, es decir,
acaban en algún punto. Ejemplos de éstos son:
Números racionales periódicos
Éstos son aquellos que su
cociente, es decir, la división entre el numerador y el denominador, contiene
decimales, pero éstos no son finitos aunque si tienen una repetición fija y lógica. Se dividen en
dos subgrupos: los números racionales periódicos puros y los números racionales
periódicos mixtos.
Los racionales periódicos puros son
aquellos que sus decimales se conforman por una o más cifras que se repiten
inmediatamente después del punto. Ejemplos de estos son:
Los racionales periódicos mixtos son
aquellos que después del punto hay una o más cifras que no se repiten, seguidas
por una o más cifras que si se repiten. Ejemplos de estos son:
Irracionales
Dentro del grupo de
los números reales, se encuentran los números irracionales, éstos se
representan generalmente con la notación “I”, éstos tienen la particularidad de
que no son números enteros y no pueden ser expresados con la división de dos
números enteros como al contrario de los números racionales.
Pueden ser
encontrados en casi cualquier parte de la recta numérica siempre y cuando
cumplan con las condiciones anteriores.
Básicamente, la
definición estándar o común, sería la siguiente: los números irracionales son
aquellos números reales que no son racionales o no son resultado de la división
de dos números enteros.
A esta clasificación
pertenecen algunos de los números más famosos, como lo son pi, la constante e y
el número áureo. Un número irracional
se caracteriza porque sus decimales parecen ser al azar y no tienen una
secuencia lógica o repetitiva como los racionales.
Algunos ejemplos
son:
Reales
Éstos se representan por la notación “R”, los
números reales, contienen a otros subconjuntos como lo son los racionales,
irracionales, enteros, fraccionarios, etc. Los números reales abarcan completamente la recta formada desde menos infinito a más infinito.
La forma más fácil
de explicarlos es, los números reales son todos los números comprendidos en el
conjunto que abarca desde menos infinito a más infinito. Todos aquellos números
que estén dentro de este rango, es por consiguiente, un número real. Así mismo,
al igual que los números imaginarios, se puede decir que los números reales son
números complejos pero que no tienen la parte imaginaria.
Pueden ser
representados en forma rectangular, polar o exponencial como veremos más
adelante, aunque no son comunes o necesarias en muchas ocasiones las últimas
dos formas.
Imaginarios
Son
representados con la letra “i” o con menor frecuencia, con la letra “j”. Fueron
denominados así por Leonard Euler, el cual fue uno de los más grandes
matemáticos de la historia, para resolver la raíz cuadrada de -1, la cual no
tiene una existencia real.
Cualquier número
real multiplicado por un número imaginario, dará como resultado un número
imaginario:
De igual manera, al
igual que la raíz cuadrada de -1, la raíz cuadrada de cualquier número
negativo, dará como resultado un número imaginario.
Básicamente, un
número imaginario, es un número complejo sin la componente real y de igual
manera puede ser representado en forma rectangular, polar o exponencial.
Complejos
Los números
complejos es la únión de los números reales y los números imaginarios, se designan con la notación “C”, su símbolo es la letra Z y se
pueden representar en forma rectangular, forma polar o forma exponencial. Así
mismo, éstos pueden ser representados en un plano, el cual toma el nombre de
plano complejo.
En este
plano, los números imaginarios, toman el eje “y” o eje de las ordenadas y los
números reales serían los del el eje “x” o eje de las abscisas.
Una recta
representada en este plano, tendría entonces coordenadas que corresponderían a (x,y)
= (R,i) tomando así valores para los números
imaginarios y números reales, además de un ángulo de la recta que se crea desde
el origen hasta el punto de la coordenada en cuestión con respecto al eje de
las x.
En la forma
rectangular, los números complejos se expresan de la siguiente manera:
Z = a+ib = x+iy
En donde a
es un número real mientras que ib se trata de un número imaginario.
En su forma
polar se representan de la siguiente forma:
Z =
rÐθ = r [Cos(θ) + jsen(θ)]
En donde r
se trata del valor absoluto y θ es
el ángulo.
En esta forma, r se obtiene de la siguiente
fórmula:
Y el ángulo se
obtiene de esta otra forma:
En su forma
exponencial se expresan como sigue:
Lo que es lo mismo que:
r[Cos(θ)+jsen(θ)]
Lo
que nos da una equivalencia final para representar los números complejos de la
siguiente manera:
https://www.youtube.com/watch?v=lvdlqyv9q_c&t=193s
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